Haare, Jahrzehnte und Tauben

Das Problem der letzten Woche , wie viele Menschen die gleiche Anzahl Haare auf dem Kopf haben, ist ein anschauliches Beispiel für die Anwendung des Schubfachprinzips (das wir vor einigen Jahren im Zusammenhang mit Socken und Unterhosen besprochen haben). Es wird auch als Schubfachprinzip oder Dirichlet-Prinzip bezeichnet (benannt nach dem großen deutschen Mathematiker Peter Gustav Dirichlet, der unter anderem den modernen Funktionsbegriff einführte). Seine einfachste Formulierung – und daher auch sein Name – lautet: In ein Schubfach mit 100 Fächern können maximal 100 Tauben so untergebracht werden, dass in jedes Fach nur eine Taube passt. Bei mehr als 100 Tauben wird sich zwangsläufig in einem Schubfach mehr als eine Taube befinden.

Wenn die maximal mögliche Anzahl an Haaren 100.000 beträgt, kann es nur 100.000 Menschen mit unterschiedlichen Haartypen geben (der Einfachheit halber ignorieren wir völlig kahle Menschen – und auch kahle Stellen, die es gibt). Wären alle Haartypen streng gleich wahrscheinlich (was sie offensichtlich nicht sind), gäbe es in einer Bevölkerung von 3,5 Millionen Menschen 35 mit 100.000 Haaren, 35 mit 99.999, 35 mit 99.998..., 35 mit 2 Haaren (wie Homer Simpson) und 35 mit einem einzigen Haar. Da eine solche maximal gleichmäßige Verteilung eindeutig unplausibel ist, können wir statistisch davon ausgehen, dass es in einer Stadt wie Madrid zahlreiche Gruppen von Hunderten von Menschen gibt, die zu jedem Zeitpunkt genau die gleiche Anzahl an Haaren haben.

Und wie viele Menschen mit der gleichen Anzahl an Haaren kann es in Madrid höchstens geben? Theoretisch 3,5 Millionen. In der Praxis könnten wir lediglich eine plausible statistische Schätzung basierend auf den verfügbaren Informationen (sofern vorhanden) zur quantitativen Verteilung der verschiedenen Haartypen vornehmen.

Zur Mindestanzahl von Schaltjahren in einem Jahrzehnt erklärt Ángel Barrientos: „Wenn man das Jahrzehnt von einem beliebigen Jahr aus zählen kann, zum Beispiel 1897, beträgt die Mindestanzahl 1, da nur 1904 ein Schaltjahr wäre.“ Das stimmt, denn 1900 war kein Schaltjahr, obwohl es durch 4 teilbar ist.

Streng genommen umfasst ein Jahrzehnt jedes der zehn Jahrzehnte eines Jahrhunderts. In einer zweiten Bedeutung ist „Jahrzehnt“ jedoch gleichbedeutend mit „Jahrzehnt“, sodass die obige Schätzung gültig ist.

Beachten Sie übrigens die Mehrdeutigkeit, die durch die weit verbreitete Benennung von Jahrzehnten mit runden Zahlen entsteht, wie etwa bei den „Achtzigern“ oder „den Goldenen Zwanzigern“. Gehört 1980 zu dem Jahrzehnt, das damit benannt wird? War 1920 verrückt oder ist es dem Rennen einfach entkommen?

Und was den angeblich allgegenwärtigen Wind betrifft, der die Sintflut vorhergesagt hatte, so hätte ihn nicht einmal ein allmächtiger Gott auslösen können: Er ist eine topologische Absurdität, wie der Fixpunktsatz zeigt. Aber das ist ein anderes Thema.

Der Taubenschlag und darüber hinaus

Das Schubfachprinzip mag offensichtlich erscheinen, aber es befasst sich effektiv mit einer großen Anzahl von Problemen (oft in Kombination mit der Graphentheorie), von denen einige einfach und andere nicht so einfach sind; zum Beispiel:

Wie oft muss man würfeln, um sicher zu sein, mindestens dreimal die gleiche Augenzahl zu würfeln?

Wählen Sie zwölf beliebige zweistellige Zahlen. Wenn Sie sie subtrahieren, werden Sie feststellen, dass es mindestens ein Paar gibt, dessen Differenz eine Zahl mit denselben Ziffern ist. Warum?

Zeigen Sie, dass es in einer Gruppe von 6 Personen immer 3 gibt, die sich kennen oder 3, die sich nicht kennen.