De verborgen wiskunde van oceaan golven

9 november 2025 02:00 uur

De wiskunde achter zelfs de simpelste oceaangolven is notoir onwillig. Een team van Italiaanse wiskundigen heeft grote vooruitgang geboekt in het begrijpen ervan.

Illustratie: Kristina Armitage/ Quanta Magazine; Somavarapu Madhavi/Shutterstock

De originele versie van dit verhaal verscheen in Quanta Magazine .

Het mooiste aan Alberto Maspero 's baan, zegt hij, is het uitzicht vanuit zijn raam. Gelegen op een heuvel boven de oude havenstad Triëst in Italië, kijkt zijn kantoor aan de International School for Advanced Studies uit over een brede baai aan de noordpunt van de Adriatische Zee. "Het is erg inspirerend", zei de wiskundige. "Zeker het mooiste uitzicht dat ik ooit heb gehad."

Italianen noemen Triëst la città della bora , naar de beroemde "bora", die grillig vanaf de Alpen over de stad waait. Wanneer de bora sterk genoeg is, drijft hij de golven in tegengestelde richting. In plaats van tegen de kades te breken, stromen ze weg van de stad, terug naar de open zee.

Maar ze komen er nooit echt. Maspero kijkt op deze winderige dagen vanuit zijn raam en ziet de terugtrekkende golven langzaam verdwijnen als ze de haven verlaten, om uiteindelijk plaats te maken voor een kalm, stil oppervlak.

De vergelijkingen die wiskundigen gebruiken om de stroming van water en andere vloeistoffen te bestuderen – die Leonhard Euler bijna 300 jaar geleden voor het eerst opschreef – lijken eenvoudig genoeg. Als je de locatie en snelheid van elke waterdruppel kent en de wiskunde vereenvoudigt door aan te nemen dat er geen interne wrijving of viscositeit is, dan kun je door Eulers vergelijkingen op te lossen voorspellen hoe het water zich over een bepaalde periode zal ontwikkelen. De rijke verzameling verschijnselen die we in de oceanen van de wereld zien – tsunami's, draaikolken, stromingen – zijn allemaal oplossingen voor Eulers vergelijkingen.

Maar de vergelijkingen zijn meestal onmogelijk op te lossen. Zelfs een van de eenvoudigste en meest voorkomende oplossingen – een oplossing die een gestage reeks zacht rollende golven beschrijft – is een wiskundige nachtmerrie om uit de vergelijkingen van Euler af te leiden. Tot ongeveer 30 jaar geleden was het grootste deel van wat we over deze golven wisten slechts gebaseerd op een mix van praktijkwaarnemingen en giswerk. Bewijzen leken grotendeels fantasie.

"Voordat ik met wiskunde begon, dacht ik dat watergolven iets heel begrijpelijks waren – helemaal geen probleem", zegt Paolo Ventura , postdoctoraal onderzoeker aan de Zwitserse Technische Hogeschool Lausanne en voormalig promovendus van Maspero. "Maar in werkelijkheid zijn ze gewoon vreemd."

Alberto Maspero en Massimiliano Berti in Triëst, Italië, waar ze de wiskunde van oceaangolven bestuderen. Hun groep...

Een vreemd fenomeen dat wiskundigen al tientallen jaren bezighoudt, is dat zelfs bij minimale wrijving die gestage reeks zacht rollende golven uiteindelijk toch uit elkaar valt en onregelmatig wordt. Wiskundigen hadden niet verwacht dat zulk instabiel gedrag uit zo'n eenvoudig uitgangspunt zou voortkomen. Ze wilden het bewijzen – aantonen dat instabiliteiten op natuurlijke wijze voortkomen uit de Euler-vergelijkingen. Maar ze konden niet bedenken hoe ze dat moesten doen.

Nu hebben Maspero en Ventura, samen met hun collega's uit Triëst, Massimiliano Berti enLivia Corsi van de Roma Tre Universiteit, eindelijk zo'n bewijs geleverd, dat precies laat zien wanneer deze instabiliteiten optreden en wanneer niet . Het resultaat is slechts de laatste in een renaissance die ons wiskundige begrip van aardgolven begint te veranderen. Wiskundigen gebruiken nieuwe computationele tools om vermoedens te formuleren over hoe golven zich gedragen. En ze ontwikkelen nu geavanceerde pen-en-papiertechnieken om die vermoedens te bewijzen.

"Het is niet één ding in het bijzonder. Het is een hele golf van nieuwe soorten analyses in meerdere richtingen", aldus Walter Strauss , wiskundige aan Brown University. "Ik ben erg onder de indruk."

Een langzame vloed

De oude Grieken vergeleken het onregelmatige slaan van golven tegen de kust vaak met lachen. Gezien hoe die golven zich aan het menselijk begrip hebben onttrokken, hadden ze misschien wel gelijk: de oceaan lacht ons al die tijd al uit.

Zelfs op het hoogtepunt van de Verlichting, eind 17e en begin 18e eeuw, toen golven een groot deel van het wetenschappelijke discours beheersten, leek de oceaan altijd het laatste woord te hebben. Een aantal wetenschappers had de snelheid van geluidsgolven gemeten, en Newton en zijn tegenstanders waren verwikkeld in een conflict over de golfachtige aard van licht. Maar de oudste golven die de mens kende, bleven een wiskundig raadsel.

Het zou meer dan een eeuw duren voordat hier verandering in kwam. Begin 19e eeuw raakte Sir George Stokes gefascineerd door oceaangolven toen hij als jongen in de buurt van zijn huis in Sligo, Ierland, aan het zwemmen was en een enorme golf hem bijna de zee in trok. In 1847 publiceerde hij een monumentale verhandeling over dit onderwerp. Hij begon met de vergelijkingen van Euler voor een vloeistof zonder viscositeit en voegde daaraan de wiskundige voorwaarde toe dat het bovenoppervlak volledig "vrij" moest zijn – dat het elke gewenste vorm mocht aannemen.

Oceaan golven kunnen ingewikkelde patronen vormen die bijna onbetaalbaar zijn om wiskundig te bestuderen.

"Ze zien er niet slecht uit," zei Strauss over de resulterende vergelijkingen. "Maar kijk eens naar een meer met een beetje wind. Je krijgt al die ingewikkelde vormen, zoals schuimkoppen en rollende golven, sommige parallel aan elkaar, andere niet."

Elk van deze verschillende vormen, begrepen als een oplossing voor de vergelijkingen van Euler, is wiskundig gezien uniek en vreselijk onhandig. Zelfs de kleinste verandering in de begintoestand van de vloeistof kan zich op een heel andere manier ontwikkelen – hobbels en wervelingen kunnen uitgroeien tot vreemde golven en tsunami's.

Deze vrije, bewegende oppervlakken waren wat Stokes wilde bestuderen. Maar de uitdaging was immens. Het beschrijven van de beweging van water dat in een doos zit, of door een buis stroomt, is al moeilijk genoeg. Maar dan weet je tenminste waar de randen van het systeem liggen – geen water kan verder reiken dan die grenzen. Als er geen andere beperking is dan de zwaartekracht op hoe hoog het water kan reiken en welke vorm het kan aannemen, wordt de wiskunde veel moeilijker.

"Als ik om zeven uur 's ochtends naar het strand ga, is het er heel kalm", zei Corsi. "Maar als je echt naar het oppervlak kijkt, hoe het beweegt, is het een puinhoop."

Toch kon Stokes één oplossing bedenken: dat het mogelijk is dat het wateroppervlak gelijkmatig verdeelde golven vormt die in één richting bewegen.

In de jaren twintig bewezen wiskundigen de hypothese van Stokes. Bovendien ontdekten ze dat deze oplossingen van de Euler-vergelijkingen eeuwig blijven bestaan als er geen externe verstoringen zijn: zodra ze ontstaan, zullen zogenaamde Stokes-golven altijd vrolijk over het wateroppervlak blijven glijden, zonder hun vorm te veranderen.

Paolo Ventura heeft onlangs een belangrijk resultaat bewezen over wanneer een bepaald type golf aanhoudt en wanneer niet...

Maar wat als de kielzog van een passerende boot de golven kruist? Zullen de golven deze verstoring absorberen en hun vorm behouden, of worden ze permanent verstoord en transformeren ze in een compleet ander golfpatroon?

Decennialang gingen wiskundigen ervan uit dat Stokesgolven stabiel zijn, wat betekent dat elke kleine verstoring een minimaal effect heeft. De echte wereld zit immers vol met dergelijke complicaties, maar de zeeën zitten vol met Stokesgolven. Als ze bij de minste of geringste stoot uit elkaar zouden vallen, zouden ze nooit lang genoeg overleven om de kust te bereiken.

Toch besloot wiskundige T. Brooke Benjamin in 1967 deze basisveronderstelling te verifiëren. Hij liet zijn student Jim Feir een reeks experimenten uitvoeren in een golfslagbad – een smal rechthoekig bad met aan één kant een oscillerend roer dat Stokes-golven kon produceren. Maar Feir kreeg de golven niet naar de andere kant van het bad. Aanvankelijk dacht hij dat er iets mis was met de experimentele opstelling. Maar al snel bleek dat de golven, verrassend genoeg, instabiel waren.

In 1995 bewezen wiskundigen eindelijk dat dergelijke "Benjamin-Feir-instabiliteiten" een onvermijdelijk gevolg zijn van de Euler-vergelijkingen. Maar het werk zette onderzoekers aan het denken over de aard van deze instabiliteiten. Welke soorten verstoringen kunnen golven doden en welke niet? Hoe snel nemen de instabiliteiten toe? Zou een windvlaag in het midden van de Stille Oceaan ervoor kunnen zorgen dat een golfstroom weken later Malibu Beach bereikt, of zou de formatie instorten voordat ze de kust bereiken?

Vreemde archipels

Maspero had er nooit bij stilgestaan waarom de golven die de baai van Triëst verlieten, zo zwak waren. Zijn inspiratie kwam uiteindelijk van een computer, niet van het tafereel buiten zijn raam.

Tijdens een workshop in 2019 over de wiskunde van golven ontmoetten hij en zijn collega's Bernard Deconinck , een toegepast wiskundige aan de Universiteit van Washington die, samen met Katie Oliveras van Seattle University, alle verschillende instabiliteiten in kaart bracht die Stokes-golven konden vernietigen. Een paar jaar eerder hadden ze een verbazingwekkend patroon opgemerkt, en ze waren er niet meer mee gestopt.

Wanneer een perfecte reeks Stokes-golven een verstoring tegenkomt die de vorm van de golven vervormt, kunnen de effecten van de verstoring soms zo groot worden dat de hele reeks wordt vernietigd, en soms interfereren ze nauwelijks. De uitkomst hangt af van de frequentie van de verstoring: hoe sterk deze oscilleert in verhouding tot de lengte van de oorspronkelijke golf. Een kajak, die een kielzog produceert dat bestaat uit korte, frequente oscillaties, zal een hogere frequentie hebben dan een enorme oceaanstomer, die langere en langzamere oscillaties produceert.

Livia Corsi is gefascineerd door de chaotische, onvoorspelbare aard van de oceaan en de wiskunde die daaraan ten grondslag ligt.

Over het algemeen verwachten wiskundigen dat golven zich gemakkelijker herstellen van verstoringen met een hogere frequentie, zoals die van een kajak, omdat hun impact beperkt blijft tot een kleiner deel van een passerende golf op een bepaald moment. De kielzog van een oceaanstomer kan daarentegen de hele golf in één keer beïnvloeden en permanent verstoren. Benjamin-Feir-instabiliteiten worden veroorzaakt door verstoringen met een lage frequentie.

In 2011 simuleerden Deconinck en Oliveras verschillende verstoringen met steeds hogere frequenties en observeerden ze wat er met de Stokes-golven gebeurde. Zoals verwacht, bleven de golven bij verstoringen boven een bepaalde frequentie bestaan.

Maar terwijl het paar de frequentie bleef verhogen, zagen ze plotseling weer verwoesting. In eerste instantie maakte Oliveras zich zorgen dat er een fout in het computerprogramma zat. "Een deel van me dacht: dit kan niet kloppen," zei ze. "Maar hoe meer ik groef, hoe meer het bleef aanhouden."

Sterker nog, naarmate de frequentie van de verstoring toenam, ontstond er een wisselend patroon. Eerst was er een interval van frequenties waarin de golven instabiel werden. Dit werd gevolgd door een interval van stabiliteit, wat weer werd gevolgd door een interval van instabiliteit, enzovoort.

Deconinck en Oliveras publiceerden hun bevindingen als een contra-intuïtieve veronderstelling : dat deze archipel van instabiliteiten zich tot in het oneindige uitstrekt. Ze noemden alle instabiele intervallen 'isole' – het Italiaanse woord voor 'eilanden'.

Het was vreemd. Het tweetal had geen verklaring voor waarom de instabiliteiten opnieuw zouden optreden, laat staan oneindig vaak. Ze wilden op zijn minst bewijs dat hun verrassende observatie klopte.

Bernard Deconinck en Katie Oliveras ontdekten een vreemd patroon in computeronderzoek naar de stabiliteit van golven.

Jarenlang boekte niemand vooruitgang. Tijdens de workshop van 2019 benaderde Deconinck Maspero en zijn team. Hij wist dat ze veel ervaring hadden met het bestuderen van de wiskunde achter golfachtige verschijnselen in de kwantumfysica. Misschien konden ze een manier vinden om te bewijzen dat deze opvallende patronen voortkomen uit de Euler-vergelijkingen.

De Italiaanse groep ging meteen aan de slag. Ze begonnen met de laagste frequenties die golven leken te laten uitdoven. Eerst pasten ze technieken uit de natuurkunde toe om elk van deze laagfrequente instabiliteiten weer te geven als arrays, of matrices, van 16 getallen. Deze getallen codeerden hoe de instabiliteit zou toenemen en de Stokes-golven in de loop van de tijd zouden vervormen. De wiskundigen realiseerden zich dat als een van de getallen in de matrix altijd nul was, de instabiliteit niet zou toenemen en de golven zouden blijven bestaan. Als het getal positief was, zou de instabiliteit toenemen en uiteindelijk de golven vernietigen.

Om aan te tonen dat dit getal positief was voor de eerste reeks instabiliteiten, moesten de wiskundigen een gigantische som berekenen. Het kostte 45 pagina's en bijna een jaar werk om dit op te lossen. Toen ze dat eenmaal hadden gedaan, richtten ze hun aandacht op de oneindig vele intervallen van hoogfrequente golfvernietigende verstoringen – de isole.

Eerst bedachten ze een algemene formule – alweer een ingewikkelde som – die hen het benodigde aantal voor elke isola zou opleveren. Vervolgens gebruikten ze een computerprogramma om de formule voor de eerste 21 isola's op te lossen. (Daarna werden de berekeningen te ingewikkeld voor de computer.) De getallen waren allemaal positief, zoals verwacht – en ze leken ook een eenvoudig patroon te volgen dat impliceerde dat ze ook positief zouden zijn voor alle andere isola's.

Maar een patroon is geen bewijs, en Maspero en zijn collega's wisten niet goed hoe ze verder moesten. Daarom schakelden ze de hulp in van een wereldwijde community van computerexperts.

De dijk breekt

Maspero had de wiskundige literatuur doorzocht op zoek naar iets dat hem kon helpen. Het probleem, zo besloot hij, was dat hij de berekeningen die hij moest maken op de een of andere manier moest vereenvoudigen. Hij vond een boek waarin Doron Zeilberger , een wiskundige aan Rutgers University, algoritmische benaderingen beschreef voor het uitvoeren van moeilijke algebraïsche berekeningen op een computer. Omdat hij deze niet kon aanpassen aan zijn situatie, nam Maspero rechtstreeks contact op met Zeilberger.

"We zijn onlangs bepaalde combinatorische problemen tegengekomen die we niet kunnen oplossen", begon zijn e-mail aan Zeilberger. "We vragen ons af of u ons kunt helpen."

Zeilberger was geïntrigeerd. "De vraag was precies mijn ding," zei hij. Met wat moeite slaagde hij erin zijn computer, die hij Shalosh B. Ekhad noemt (en die als coauteur op al zijn artikelen vermeld staat), de sommen te laten berekenen voor de eerste 2000 isole. Hij controleerde of de uitkomsten allemaal positief waren en of ze overeenkwamen met het patroon dat het Italiaanse team had geïdentificeerd. Vervolgens riep hij de hulp in van zijn netwerk van computeralgebra-enthousiastelingen en bood aan om $100 te doneren aan de On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, namens degene die kon aantonen dat het patroon voor altijd bleef bestaan.

In februari 2024 betaalde Zeilberger. Na een lange e-mailwisseling met twee van zijn vaste medewerkers kwam hij terug met het onomstotelijke bewijs dat de sommen nooit nul zouden worden.

Deconinck en Oliveras hadden gelijk: hun isole was echt. Het resultaat betekent dat wiskundigen nu eindelijk precies weten welke soorten verstoringen een Stokesgolf zullen vernietigen en welke niet – iets waar ze al twee eeuwen naar op zoek waren.

"Het was zoiets van: verdorie, dank je wel," zei Oliveras.

Het laat wiskundigen ook meer werk te doen. Waarom leven en sterven golven in dit afwisselende patroon? "Oké, die isoles waren echt," zei ze. "Nu moeten we er aandacht aan besteden."

Het resultaat is slechts het laatste in een recente reeks publicaties die de wiskunde van watergolven willen verhelderen. Wiskundigen combineren vooruitgang in computationele en theoretische technieken om oplossingen voor de Euler-vergelijkingen beter te begrijpen, waardoor ze steeds meer vermoedens over het gedrag van golven kunnen bewijzen. Maspero en zijn collega's hopen dat hun methoden nu kunnen worden gebruikt om andere problemen op dit gebied op te lossen.

Wat betreft de door bora's gevormde golven buiten Maspero's kantoorraam, en hun uiteindelijke verval tot vlak water – op dit moment kan hij niet met zekerheid zeggen of de berekeningen van zijn team dit precieze fenomeen verklaren. "Ik weet niet of er een verband is," zei hij. "Maar ik denk graag dat het dezelfde instabiliteiten zijn."

Oorspronkelijk verhaal met toestemming overgenomen uit Quanta Magazine , een redactioneel onafhankelijke publicatie van de Simons Foundation. De missie van dit tijdschrift is om het publieke begrip van wetenschap te vergroten door verslag te doen van ontwikkelingen en trends in het onderzoek naar wiskunde, natuurkunde en levenswetenschappen.